Théorie des votes et modes de scrutin

— Bonjour à toutes et tous. Aujourd'hui, je dénonce. Nicolas Sarkozy n'est pas le meilleur président de la République française.

Bon, vous allez me dire « C'est un avis politique. Ça ne regarde que toi, Baptiste. On connaît tes avis de bobos gauchistes ».

Et bien, figurez-vous que ça n'a rien à voir avec mes avis politiques, non. Simplement, résultat surprenant de la théorie des votes,

admettons que le lendemain de son élection, en 2007, on organise un scrutin très simple.

« Voulez-vous remplacer Nicolas Sarkozy par François Bayrou ? » Et bien, croyez-le ou non, mais le référendum aurait été sans appel.

Le patron du Modem était préféré à Nicolas Sarkozy.

Fait encore plus surprenant, Ségolène Royal eût-elle été élue face à Nicolas Sarkozy, soumise au même traitement, elle aurait perdu de même.

Cet exemple est très contre-intuitif. Un candidat élu au suffrage à deux tours peut instantanément être battu, au lendemain de son élection, par quelqu'un avec qui il était en lice.

Comment est-ce possible ? Est-ce grave ? Est-ce qu'on peut faire mieux ? C'est ce qu'on va essayer de voir dans cette émission.

Alors, une fois n'est pas coutume, j'aimerais faire un petit disclaimer. Il n'est pas question ici de discuter de la légitimité de tel ou tel politicien élu par tel ou tel suffrage passé.

L'idée, c'est ici de parler des scrutins eux-mêmes, de la théorie mathématique derrière tout ça et des problèmes que ça pose.

Ah, et un deuxième petit disclaimer, je viens de prononcer le mot mathématique. Partez pas, s'il vous plaît.

Bonjour à toutes et tous, vous êtes dans La Voix Est Libre, l'émission farouchement bimensuelle de l'association Picasoft,

qui s'est donnée pour mission de sensibiliser les citoyens aux enjeux du numérique, d'héberger des services web respectueux de la vie privée

et qui promeut une approche libre, éthique et inclusive et locale du numérique.

Moi, c'est Baptiste, je suis en compagnie de Quentin. Bonjour Quentin.

— Salut Baptiste.

— Et de David Savourey.

— Salut à tous.

— Est-ce que tu peux te présenter en quelques mots ?

— Je m'appelle David Savouret, je travaille au CNRS et j'enseigne à l'UTC l'informatique et je me suis intéressé à la théorie des votes en faisant une préparation pour la fête de la science.

Je ne suis pas un spécialiste du sujet en recherche, mais dans le cadre de la fête de la science, j'ai préparé une présentation là-dessus.

— Et tu avais aussi présenté, si je ne dis pas de bêtises, le semestre dernier une petite présentation aussi ?

— Oui, alors c'était une asso, une future asso étudiante qui m'avait fait venir, c'était au moment des élections législatives et il voulait mobiliser un peu les collègues.

Ils avaient organisé une soirée et donc j'étais venu parler justement de la théorie des votes dans ce cadre-là.

— Ok.

— Bon, histoire de raccrocher quand même avec l'émission, parce que peut-être que vous vous demandez mais qu'est-ce qu'ils font les libristes là

à nous parler de mathématiques ? On peut faire une petite pirouette en disant voilà, La Voie Est Libre, on parle beaucoup de culture libre,

donc du coup de commun et du coup les communs ils font un mode de gouvernance et qui dit mode de gouvernance dit peut-être vote et donc théorie du scrutin.

Donc triple salto arrière, on peut y aller.

— Et hop, bim bam boum, on commence donc avec le commencement.

Toute cette histoire de théorie des votes, donc quand est-ce qu'on a commencé à s'intéresser au scrutin ?

Ça vient d'où ? Pourquoi est-ce que c'est vraiment un sujet important ?

Pourquoi est-ce que ce n'est pas un problème si facile que ça les scrutins ?

— Alors, la théorie des votes, l'étude de la théorie des votes, on peut la faire remonter à Nicolas de Condorcet

et à un livre qu'il a sorti ou un article en 1785, donc on était encore en monarchie à l'époque.

Et donc il y a deux gros résultats qu'il a présentés, Nicolas de Condorcet, le premier, donc c'est ce qu'on appelle aujourd'hui le théorème du jury.

Donc on est dans une situation où on peut imaginer un jury qui doit prendre une décision, par exemple, est-ce qu'un tel est coupable ou non ?

Et chacun doit voter et donc c'est un modèle où là il y a une vérité sous-jacente parce que la personne est réellement coupable ou non mais on ne le sait pas,

et donc il s'agit de découvrir la vérité, et Nicolas de Condorcet il pose un modèle où il dit en fait chaque votant a une certaine probabilité d'avoir raison, enfin de découvrir la vérité ou non,

et il montre qu'en fait plus le jury est nombreux et plus on a de chances que ce soit la vérité qui soit décidée à la fin,

ce qui n'était pas intuitif à l'époque parce qu'en monarchie on était avec un roi qui décide de tout et qui est éclairé,

et qui était pour la plupart qui ne savait pas lire, et donc ce n'était pas intuitif du tout.

— Ça c'est un résultat mathématique ?

— Oui c'est un résultat mathématique parce que même pour formaliser ça,

en fait ça a été le début de la théorie des probabilités qui est aussi attribuée à Condorcet,

mais à l'époque c'était une idée qui n'était pas du tout intuitive.

Et le deuxième enseignement de Condorcet, c'est ce qu'on appelle aujourd'hui le paradoxe de Condorcet,

et ça, ça va nous faire entrer dans le cœur de ce dont on va parler aujourd'hui, c'est l'idée qu'on peut construire facilement,

on peut imaginer une situation où en fait il y ait trois candidats, trois alternatives,

il va falloir qu'on se mette d'accord sur la terminologie entre nous,

mais en gros on imagine une élection où il y a trois personnes qui peuvent être élues,

et en fait si on demande à la population,

est-ce que vous préférez A à B, il y a une majorité de gens qui répondent oui,

est-ce que vous préférez B à C, il y a aussi une majorité de gens qui répondent oui,

et est-ce que vous préférez C à A, il y a encore une majorité de gens qui répondent oui,

c'est-à-dire qu'en fait on n'arrive pas à dégager un ordre de préférence

qui satisfasse l'ensemble de la population.

Et ça en fait, ça vient nous dire que l'idée qu'il y a un candidat préféré,

d'une population quand elle vote, c'est une idée qui est mal fondée,

qui peut ne pas être vraie.

Dans certains cas, oui, mais il peut y avoir des situations où ce n'est pas vrai.

— En fait ce que tu dis, c'est qu'on a cette intuition nous,

qui est que chacun on a une personnalité préférée,

on est tout à fait capable d'exprimer des préférences,

mais qu'en fait elles se diluent dans une masse,

et quand on est beaucoup, cette propriété qui est vraie pour un individu,

qui est qu'on a un individu préféré,

ell n'est plus vraie dans le cadre d'un groupe ou d'une foule notamment.

— Oui exactement, c'est ça.

Et donc même pour spoiler un peu la suite,

on peut facilement trouver une situation où en fait,

suivant la manière où on demande aux gens leurs préférences,

on arrive à des résultats différents.

Encore une fois, pour préciser, on se donne une population,

chacun a ses préférences,

et on les fait voter quatre fois de manière différente,

mais dans les quatre situations, les gens ont les mêmes préférences,

et en fait suivant comment on les fait voter, on arrive à des résultats différents.

Et si on regarde les quatre manières dont on fait voter les gens, les quatre nous paraissent a priori raisonnables.

— Et ça pour ça, je sais notamment que tu as un atelier qui est assez percutant là-dessus,

où tu vas donner des préférences à tout le monde, dans une salle d'une vingtaine de personnes, et tu vas leur demander de voter selon ces quatre scrutin,

et tu vas arriver... Ensemble, avec les 20 personnes, à quatre choix totalement différents, totalement opposés.

Et ça, tu arrives à le faire en vrai, avec des préférences forcées.

— Oui, c'est ça. En fait, quand je préparais justement l'atelier pour la fête de la science,

je me disais, je vais aller dans des classes, et je ne sais pas combien je vais avoir d'élèves devant moi.

Et donc, avec une étudiante de l'UTC, Agathe, à qui je dis bonjour aujourd'hui,

on avait travaillé, elle avait fait un travail personnel avec moi

pour construire justement les situations qui s'adaptent à tous les nombres de votants,

et qui fassent que je puisse jouer avec les lycéens, et leur dire, vous allez voter selon cette méthode,

vous allez voter selon cette méthode, selon cette méthode, il y avait quatre votes différents.

A chaque fois, un même lycéen avait toujours les mêmes préférences,

et finalement, on arrivait à montrer que, à chaque mode de scrutin, on avait un résultat différent.

— Et donc, les préférences, je ne sais pas si ça spoil la suite, mais elles sont exprimées de quelle manière ?

Parce que du coup, le paradoxe de Condorcet, on peut dire que c'est un peu comme

poule, renard, vipère, la poule bouffe la vipère, la vipère bouffe, etc.

Et du coup, il n'y a pas de plus fort. — Oui

— Et c'est ce genre de préférences que les gens avaient dans ton exercice ?

— Alors, oui, tu as raison, Quentin.

Ce que je n'ai pas précisé, qu'est-ce que j'appelle les préférences ?

C'est qu'on demande, en fait, dans le modèle mathématique,

c'est que chaque votant, il a un ordre qui va de son candidat préféré à son candidat le moins aimé.

Et voter, c'est respecter son ordre de préférence pour arriver à la meilleure issue possible pour moi.

— OK, donc là, du coup, ce qu'on a vu, c'est qu'il y avait des votants qui avaient des

préférences, mais par contre, la foule, mathématiquement, elle n'a pas une préférence.

On n'est pas capable de démontrer une préférence.

Donc, si on a un objectif qui est impossible de trouver le préféré, quel va être l'objectif

de la théorie des votes ? Qu'est-ce qu'on va chercher à faire émerger dans un scrutin, si ce n'est pas le préféré ?

Ouais, donc, en fait, une fois qu'on accepte l'idée qu'il n'y a pas forcément de candidat

préféré global, du coup, on passe de ce que j'appellerais une obligation de résultat

à une obligation de moyens.

C'est-à-dire qu'on va essayer de se dire, OK, avant, il y avait un candidat, je cherchais

à atteindre tel candidat parce que c'était lui le préféré, maintenant, j'ai plus ça,

et donc, je me dis, je vais essayer de faire en sorte que la méthode que j'utilise pour

déterminer le vainqueur de l'élection soit la plus irréprochable possible, c'est-à-dire

qu'elle respecte des propriétés qui me semblent essentielles pour toute méthode raisonnable d'élection.

— Et du coup, ces propriétés essentielles, tu as des exemples à nous donner, par exemple ?

— Ouais, ouais, ouais. Alors, j'ai des exemples, ils ne viennent pas de moi, mais donc, par exemple

quelque chose qui est important, ça s'appelle l'universalité, c'est-à-dire qu'on ne voudrait

pas d'une méthode qui interdise à certains votants d'avoir un certain type de préférence.

Pour donner des noms, si vous mettez Bayrou en 1, vous n'avez pas le droit de mettre Le Pen en 2.

Une méthode qui dirait, ça, ce genre de vote, je ne les veux pas, nous, on ne veut pas de cette méthode-là.

On veut que chacun puisse avoir l'ordre qu'il veut sur les candidats.

Ça, c'est l'universalité.

Parce qu'on voit tout de suite, du coup, le problème, s'il n'y avait pas la notion d'universalité,

c'est qu'on pourrait interdire, on pourrait dire, pour des raisons mathématiques, vous

n'avez pas le droit de voter un tel, etc. Ce serait ça, le problème, quoi.

— En fait, ce serait, du point de vue des mathématiques, ce serait super confortable, mais socialement,

ce n'est pas du tout acceptable. Et donc, on le jette.

— Exactement. Donc, on voit là l'articulation, en fait, entre, il y a des propriétés mathématiques

qu'on va essayer de trouver, qui vont s'adosser à des propriétés qu'on veut avoir pour des

raisons sociales, pour des raisons politiques. Il y a une deuxième propriété, notamment, qui est une propriété d'unanimité.

Donc là, c'est pareil, tu peux nous en parler, mais c'est pareil, on voit directement l'intérêt.

— Alors, l'unanimité, c'est quelque chose de simple.

C'est, imaginons que toute la population est d'accord sur son candidat préféré.

Et bien, effectivement, il faudrait que la méthode déclare que c'est ce candidat-là

qui gagne l'élection.

Une méthode qui ne respecterait pas l'unanimité, c'est une méthode qui, on a toute une population qui veut

Bayrou, et c'est pas lui qui est élu.

— Une troisième propriété, David, c'est l'indépendance aux alternatives non pertinentes.

Je crois que c'est l'idée que, en gros, c'est l'absence de vote utile.

Quelque part, on pourrait résumer ça comme ça ou pas ?

— Alors, l'indépendance aux alternatives, ça, c'est un peu plus compliqué à expliquer.

Alors, je vais essayer d'être le plus clair possible.

C'est que le classement entre deux candidats ne dépend pas de la présence ou de l'absence

d'un troisième candidat. Alors, comme ça, c'est un peu abstrait.

Mais, par exemple, on imagine qu'à une certaine élection, c'est Emmanuel Macron qui gagne

et avec une certaine préférence des Français.

Et si, en enlevant des candidats à l'élection et en maintenant les préférences des Français,

ce n'est plus lui qui gagne, on n'est pas indépendant aux alternatives.

Alors, ce truc-là, en fait, c'est tellement ancré dans notre mode de scrutin

qu'on a l'impression que c'est normal.

Mais, quand j'avais préparé la fête de la science, j'avais lu des documents là-dessus

et il y a un doctorant de Paris 6 qui avait préparé une thèse sur la théorie des votes

et il expliquait avec un exemple qui est très rigolo, que je vais vous donner aujourd'hui.

Il disait :

« Imaginez, vous êtes au restaurant et le serveur vous dit, aujourd'hui, vous avez le choix

entre prendre un plat avec du bœuf et un plat avec du poulet.

Et toi, Quentin, tu dis, ok, je vais prendre le bœuf.

Et le serveur revient cinq minutes plus tard et dit, ah, j'ai oublié, en fait, il y a aussi du poisson aujourd'hui, si vous voulez.

Et là, tu lui réponds, ah, ok, dans ce cas-là, je vais prendre le poulet. »

Et donc là, on voit que le classement entre le bœuf et le poulet a changé par la simple présence du poisson.

Et ça paraît contre-intuitif, mais on le verra plus tard, dans la plupart de nos systèmes à nous,

on n'a pas cette indépendance aux alternatives tiers.

C'est-à-dire que la présence d'une troisième alternative peut faire varier le classement entre deux candidats.

— Et du coup, je ne sais pas si on...

Est-ce que ça a du sens de dire que le vote utile, c'est un peu de cet ordre-là, du style, j'ai une préférence personnelle

pour un petit candidat, mais la présence d'un gros candidat va me faire pas exprimer cette préférence

parce que le système fait que, tu vois, il faudrait faire barrage ou je ne sais pas quoi.

Est-ce que ça rentre un peu dans ce cadre-là ou ce n'est pas formellement ça ?

— Si, si, ça rentre un peu dans ce cadre-là, mais après, le vote utile, on a quand même,

on le verra un petit peu plus tard, je crois, des moyens de l'éviter, alors que là, ce que je vais vous dire maintenant,

c'est qu'en fait, l'indépendance aux alternatives, il y a un résultat très important dans la théorie des votes

qui s'appelle le théorème d'impossibilité d'Arrow, qui dit qu'en gros, on va devoir faire avec.

Donc, pour préciser un peu ce que dit ce théorème-là, il dit, imaginez que vous ayez une élection

qui ait au moins trois choix dans l'élection et deux votants.

Bon, c'est souvent le cas.

Si vous cherchez à respecter l'université...

Donc on a dit tout à l'heure, c'est chacun peut avoir ses préférences sans restriction.

Et si vous cherchez à avoir l'unanimité, c'est-à-dire que si tout le monde préfère quelqu'un, il est élu,

et l'indépendance aux alternatives, alors les maths disent qu'il y a une solution, mais il n'y en a qu'une seule de solution.

— Et du coup, on est rassuré, il y a une solution. Cool, problème résolu.

On va pouvoir satisfaire nos trois propriétés, si je t'entends bien.

Ouais, sauf que cette solution, en fait, c'est une solution qui n'a d'intérêt que mathématiquement,

parce que cette solution, elle est très particulière.

Elle consiste à dire que respecter l'universalité, l'unanimité et l'indépendance aux alternatives

revient à faire en sorte que le mode de scrutin soit ce qu'on appelle dictatorial,

c'est-à-dire qu'il n'écoute qu'un seul des votants. D'accord ?

Si un mode de scrutin est dictatorial et qu'il n'écoute qu'un seul des votants,

alors on peut avoir les trois autres propriétés qui sont respectées.

Évidemment, socialement, on n'en veut pas d'une telle fonction. D'accord ?

On ne veut pas qu'un mode de scrutin soit dictatorial.

Et du coup, ce théorème d'Arrow dit :

« Si vous avez un vote qui est basé sur les préférences avec trois alternatives et au moins deux votants,

vous ne pouvez pas avoir simultanément l'universalité, l'unanimité, l'indépendance aux alternatives et la non-dictature. »

Et donc, en pratique, la seule que l'on accepte de violer, c'est l'indépendance aux alternatives. Donc, il va falloir faire avec.

Dès lors qu'on a un mode de scrutin qui est basé sur les préférences,

on n'a pas l'indépendance aux alternatives qui est respectée.

— Et du coup, ça fait trois propriétés. Il y a une quatrième propriété assez importante qui est la manipulabilité.

Est-ce que tu peux en redire quelques mots peut-être dessus ?

— Oui. Alors, la manipulabilité, c'est pareil.

On est tellement habitué à ce que ce ne soit pas respecté

qu'on a même du mal à comprendre ce que ça veut dire. Donc, je vais essayer d'être aussi clair que possible.

La manipulabilité, c'est l'idée que j'ai une certaine intention

qui est basée sur mes préférences,

et quand je vote, je fais une certaine action.

Est-ce que l'action que je fais est toujours sincère par rapport à mon intention ?

Pour que ce soit le meilleur résultat possible pour moi ?

Et pour formaliser ça, en fait, on suppose que dans un vote,

tout le monde a voté sauf moi. D'accord ?

Et je suis au courant de tout ce que les autres ont voté.

La question, c'est est-ce que j'ai toujours intérêt à voter selon mes préférences

pour arriver au meilleur résultat possible ?

Si oui, on dit que le vote n'est pas manipulable.

Mais s'il y a des situations où j'ai intérêt à tordre mes préférences

parce que ça va peut-être mener à un résultat qui est plus positif pour moi,

on dit que le vote est manipulable.

Et là aussi, en fait, il y a un gros résultat dans la théorie de vote.

Qui s'appelle le théorème de Gibbard, ou de Gibbard, je ne sais pas.

Qui dit qu'en fait, dès lors qu'il y a au moins trois alternatives,

on n'y peut rien, il y aura de la manipulabilité.

À moins qu'à nouveau, on soit sur un système dictatorial, mais on n'en veut pas.

— Et du coup, tu m'interromperas si je me trompe,

mais là, l'idée, tu décris un cas très particulier qui est, je suis le seul à...

Il ne reste plus que moi à voter, je connais les résultats de tout le monde, etc.

Mais en réalité, ça, c'est la définition mathématique,

de la chose, ça décrit quelque chose de beaucoup plus grand,

qui est, j'essaie d'anticiper comment les gens vont voter pour mon vote, etc.

Je sais qu'il y a trois candidats à gauche, j'ai envie que la gauche passe.

Du coup, ça me force à tordre mes votes.

En réalité, ça décrit aussi ce phénomène-là.

— Oui, oui, exactement.

On le modélise en disant, je suppose que je connais les votes des autres,

parce que c'est comme ça qu'on capture le phénomène.

Mais en pratique, c'est plus facile de comprendre ce qu'est un vote non manipulable.

Un vote non manipulable, c'est un vote où je sais que mon intérêt,

c'est d'exprimer sincèrement,

mes préférences, parce que c'est comme ça que j'irai...

que je favoriserai le plus possible l'option qui m'intéresse.

Et donc, en fait, le seul vote où on a toutes les bonnes propriétés du monde,

c'est un vote où il n'y a que deux alternatives.

Les votes type référendum, où on doit voter oui ou non.

Alors là, on a toutes les bonnes propriétés du monde, ça se passe bien,

c'est pas manipulable, c'est universel, c'est tout ce que vous voulez.

Mais dès lors qu'il y a trois alternatives, il y a des problèmes.

— D'accord, merci beaucoup pour ces explications.

Là, on sent qu'on est face à un drame, le choix n'est pas possible.

On ne peut pas faire un scrutin qui marche bien dans tous les coups.

On va essayer de résoudre ce problème après une petite pause musicale, je propose.

— Eh bien oui, carrément.

Et puis, on va peut-être essayer de rentrer un peu plus dans l'exemple

en parlant des modes de scrutin qu'on connaît

et puis de voir comment est-ce qu'ils satisfont ou non ces propriétés.

Mais histoire donc de se détendre un peu le cerveau,

on va écouter le titre « Une foule » de Gaspard Claus.

C'est sur l'album Tancade, en licence Creative Commons BY-NC-SA.

Et Baptiste, tu nous l'as déniché sur l'excellent site Ziklibrenbib.

C'est parti.

[musique]

— Rebonjour à toutes et à tous.

Vous écoutez toujours La Voix Est Libre

et on parle toujours de mode de scrutin avec Baptiste et David.

Bon alors, il n'est pas bien notre mode de scrutin ? Hein ?

C'est quoi encore, là, les gens qui gueulent pour rien ?

— Là, on est quand même face à un petit problème.

Je vais juste le répéter pour nos éditeurs.

Le drame face auquel on était, finalement,

c'était qu'on cherchait à avoir quatre propriétés qui nous paraissent assez simples,

qui est chaque votant peut exprimer tous les...

Un, deux, trois.

Chaque votant peut exprimer n'importe quel avis.

Si tout le monde est d'accord,

ce serait bien que le mode de scrutin respecte cet accord général,

que si une personne veut se présenter à une élection,

que ça n'ait pas d'impact sur le résultat d'une élection,

et aussi que la dernière propriété, la manipulabilité,

que moi, sachant le vote de tout le monde,

je ne change pas mon avis uniquement pour des visées stratégiques.

Et on était face à un problème. Ce n'est pas possible.

Et du coup, si ce n'est pas possible, on peut déjà se poser la question,

qu'est-ce qui cloche dans le nôtre ?

Nous, on a un scrutin, par exemple, le scrutin présidentiel à deux tours.

On aimerait qu'il respecte les quatre propriétés.

David, est-ce que tu peux nous dire, brièvement, pour chaque propriété,

si le scrutin à deux tours le respecte ou pas ?

— Alors, l'élection présidentielle en France, c'est donc un scrutin uninominal à deux tours.

Je ne vais pas le rappeler, parce que tout le monde sait comment ça marche.

Mais effectivement, du point de vue théorique, ce scrutin-là, il n'est pas terrible.

Donc, il n'échappe pas au théorème d'Arrault, mais ça, on ne peut pas trop lui reprocher,

dans la mesure où personne n'y échappe. On en reparlera à la fin,

mais parmi les scrutins qui sont basés sur les préférences,

personne ne peut échapper à Arrault.

C'est-à-dire, on ne peut pas avoir l'unanimité, l'universalité, l'indépendance et la non-dictature.

Mais celui-là, il a quand même... Le scrutin uninominal à deux tours,

il a quand même d'autres propriétés qui sont très problématiques.

Et donc, je vais essayer de vous donner, par exemple, des mauvaises propriétés de ce scrutin.

Donc, la première, c'est l'idée qu'en participant à une élection,

on ne peut que favoriser le fait que le résultat soit meilleur pour nous,

l'incitation à la participation. Et ça, en fait, on peut trouver des exemples

où ce n'est pas vrai, c'est-à-dire, vous prenez une même population

qui a ses préférences, vous les faites voter selon ses préférences,

et c'est un candidat B qui émerge, ou A ou B,

on s'en fout, emploie-le comme on veut.

Et maintenant, il y a deux personnes qui avaient voté

et qui, maintenant, ne vont plus voter.

Ils restent chez eux, ils vont à la pêche, selon un des noms

sous lesquels on connaît cette propriété.

Et le fait de ne pas aller voter fait que, finalement, c'est un candidat

plus... meilleur pour eux qui passe que lorsqu'ils allaient voter.

C'est-à-dire que le fait d'être allé voter pour eux a dégradé la qualité du résultat de l'élection.

Donc ça, clairement, c'est une mauvaise propriété.

On a envie d'envoyer le message aux électeurs

« Allez voter, ça va aller dans le bon sens pour vous. »

— Et ça, on peut donner un petit exemple de pourquoi ça fait ça

avec notre scrutin uniliminal de tour ?

— C'est surtout le fait du deuxième tour.

En fait, quand je le présente comme ça, ça paraît choquant,

mais tout le monde est très habitué au fait que, comme il y a tous les candidats

sauf deux qui sont tués au premier tour, il suffit de construire une instance

où... Une instance, c'est-à-dire une population et des préférences sur cette population

qui font qu'en allant voter, en fait, on fait passer au deuxième tour

quelqu'un qui est plus fort qu'un de nos candidats préférés et du coup,

le résultat va être globalement plus négatif pour nous.

Je peux donner un deuxième exemple

qui s'appelle la monotonie et celui-là, souvent, on dit que l'élection en 2002,

celle où, en gros, Jean-Marie Le Pen est arrivé au deuxième tour contre Jacques Chirac.

Donc, le deuxième exemple, ça s'appelle la monotonie et c'est l'idée que si un candidat

améliore sa performance, alors le résultat doit lui être plus favorable.

Donc, c'est quoi la performance d'un candidat ? En gros, c'est sa popularité.

Alors, à cette élection en 2002, ce qui se passe, c'est qu'au premier tour,

les trois candidats qui ont eu le plus de voix, c'était Jacques Chirac en 1,

Jean-Marie Le Pen en 2 et Lionel Jospin en 3. D'accord ?

Imaginons que Jacques Chirac soit allé chasser encore plus

sur les terres du Front National et ait capter des électeurs de Jean-Marie Le Pen.

On peut arriver à une situation où, au deuxième tour, il se serait retrouvé contre Lionel Jospin

et non pas contre Jean-Marie Le Pen. Et là, on pense qu'il aurait perdu.

C'est-à-dire que s'il avait été plus populaire,

d'une certaine manière, il aurait perdu l'élection.

Et donc, ça, c'est clairement pas non plus une bonne propriété.

Mais tu en as parlé tout à l'heure, Quentin, la pire des propriétés

pour nous de notre scrutin à deux tours, c'est le vote utile.

C'est le fait que et là, c'est massif, c'est le fait que il y ait une majorité de gens qui votent

en n'indiquant pas leur préférence.

— Et dans l'exemple que tu décris, on trouve aussi

le paradoxe des pêcheurs, qui est que si ces électeurs que Jacques Chirac

s'est embêté à aller chercher en faisant une meilleure campagne

du premier tour pour avoir plus d'électeurs,

si ces électeurs-là, au lieu d'aller voter, ils vont à la pêche, parce que c'est quand même

vachement plus sympa d'aller à la pêche, on se retrouve avec un second tour

avec Jacques Chirac et Lionel Jospin. C'est Jospin qui gagne, et on voit que ces électeurs-là,

ils n'avaient vraiment pas intérêt à aller voter.

On voit l'asymétrie des deux propriétés.

Et là, du coup, tu nous parles du vote utile.

Dans le cadre d'un scrutin à deux tours,

ce que tu nous dis, c'est que globalement, c'est pas possible

d'éviter le vote utile. On va toujours avoir des primaires,

des gens qui vont essayer d'éviter le vote utile.

— Alors, le vote utile, il rentre dans ce dont on a parlé tout à l'heure,

qui est la manipulabilité.

La manipulabilité, d'une manière générale, c'est le fait qu'on puisse avoir intérêt

à ne pas dévoiler ses vraies préférences pour favoriser l'issue du vote.

Et donc, clairement, le vote utile, c'est un exemple de manipulabilité.

Et on sait que la manipulabilité, en général, on ne peut pas l'éviter dès lors qu'on a au moins

trois alternatives. Par contre, le vote utile en particulier, on peut proposer d'autres scrutins qui n'ont pas

le fameux problème de la division des voix.

Cette époque magique où les gens qui sont dans un même parti

et qui sont supposés être d'accord, ils se plantent des couteaux dans le dos

pour être le candidat de leur parti parce que sinon, il y a division des voix

et ils n'ont aucune chance de gagner.

Ça, on peut imaginer d'autres modes de scrutin qui, au moins, ne posent pas

le problème de la division des voix.

Et du coup, un exemple simple, peut-être ?

Alors, simple, j'espère qu'il est simple, mais il y a, par exemple, un vote qui s'appelle

le vote unique transférable qu'on peut utiliser pour élire une personne et qui pose moins ce problème-là. Alors, je vais essayer

de l'expliquer. Donc, on imagine toujours qu'on a une population où chacun a une préférence

à classer tous les candidats dans sa tête de celui qui préfère à celui qui l'aime le moins.

Et on fait voter d'abord tous les candidats, tous les votants, pardon,

et on leur demande qui est-ce que vous préférez.

On regarde le résultat et le ou la candidat, la moins populaire, est éjecté.

On recommence, mais, donc, les votants ont les mêmes préférences,

mais cette fois-ci, il y a un candidat en moins.

On refait ça, et on retue un candidat.

Et on refait ça de manière itérative jusqu'à ce qu'on arrive à un... Il y a un vote

avec plus que deux candidats et celui qui gagne, c'est celui qui est élu.

En vrai, on ne fait pas ça.

En vrai, ce vote-là, il est utilisé et on ne fait pas ça, c'est-à-dire qu'on demande dès le départ

aux votants d'exprimer l'ordre de préférence de leur candidat du début à la fin.

— Parce que, du coup, le problème qu'il y aurait là,

c'est que nous, on a un scrutin à deux tours, c'est sympa,

on va deux fois voter. Là, ce que tu nous dis, c'est

s'il y a 20 candidats, on doit aller voter 20 fois à la base, quoi.

— Oui, exactement. Et donc, en pratique, ce n'est pas ça qu'on fait. On demande à chaque votant

d'exprimer une fois pour toutes l'ordre de préférence sur les candidats. Et ensuite,

on va simuler les 20 tours dont tu parlais en disant, là, c'est au premier tour,

tel votant aurait voté pour lui parce qu'il est encore présent.

Si tel candidat n'est plus présent, alors il va voter pour lui parce que

c'est son premier candidat préféré parmi ceux qui sont encore présents. Et donc,

on peut le faire en une seule fois.

Et donc, j'en reviens au problème de la division des voix.

Ce qui se passe dans une élection, comme ça, c'est qu'imaginez qu'il y ait

27 candidats écolos et vous êtes écolos, vous avez pu à vous poser la question

de lequel je dois soutenir, sachant que j'ai envie, si je me trompe, en fait, ma voix,

elle va compter pour rien. Vous pouvez mettre vos 27 candidats écolos dans la tête de votre ordre de préférence. Ensuite,

vous mettez les autres et naturellement, votre voix va se reporter sur les candidats écolos qui sont encore en vie.

D'accord ?

— Du coup, ça, ça permet vraiment d'exprimer ses préférences comme on veut,

sans avoir besoin de faire une stratégie,

sans avoir besoin de se dire, ok, alors lui, il va passer au deuxième tour.

— Alors, ça limite la question de la division des voix.

Malgré tout, souvenez-vous, Gibbard nous a dit :

« On ne peut pas échapper à la manipulabilité ». Et donc,

il y a toujours, dans toutes les élections, il y aura du vote stratégique,

mais on peut essayer de le limiter, quand même.

— Et donc là, on limite plus l'impact du vote stratégique que le vote stratégique en lui-même.

— Exactement.

— Ok, du coup, là, on voit, on est quand même un peu déçus, parce que finalement,

on pensait avoir trouvé un vote qui est bien, qui permet d'éviter le vote stratégique, et finalement,

tu nous dis, il ne va pas si bien que ça, il est quand même manipulable, en fait.

On a essayé de l'éviter, mais ça reste une solution qui n'est pas satisfaisante.

— Ouais, t'as raison. Et donc, quand j'avais préparé la fête de la science, j'avais eu

la chance de discuter avec un spécialiste français, qui s'appelle Jean-François Laslier,

de la théorie des votes.

Et je lui avais dit, mais en fait, je ne voudrais pas qu'à l'issue de ma présentation,

les gens se disent, de toute façon, ça ne sert plus à rien de voter, c'est nul.

Et donc, il m'avait dit : « Ouais, t'as raison, mais ce qu'il faut

faire passer comme idée, c'est le fait que le fait qu'il n'y ait pas de système de vote

parfait ne veut pas dire que tous les systèmes se valent. »

D'accord ? Encore une fois, le fait qu'il n'y ait pas de truc parfait, ça ne veut pas

dire que, bon, de toute façon, t'en fous, tout est pourri. Non.

Il y a quand même des choses qui sont meilleures que d'autres.

D'accord ? Et donc, c'est pour ça qu'il faut faire quand même une étude théorique.

Et en particulier, Gibbard et la manipulabilité, on ne peut pas y échapper.

Mais par contre, Arrow, il existe des systèmes de vote qui sortent du cadre

dans lequel le théorème d'impossibilité d'Arrow

s'applique, c'est-à-dire où on peut avoir simultanément l'universalité,

L'unanimité, l'indépendance aux alternatives et la non-dictature.

Ces systèmes-là, c'est les systèmes qui ne sont plus basés sur les préférences. Encore une fois,

les préférences, c'était dire que les votants doivent décider d'un

ordre de préférence sur les candidats et ensuite suivre cet ordre quand on leur demande de voter.

Cette fois-ci, en fait, on imagine que les votants mettent des notes aux candidats.

On passe sur des systèmes par évaluation. Ils mettent des notes et en particulier, je peux mettre la même

note si je suis votant à deux candidats différents.

Cette fois-ci, on ne classe plus les candidats, mais on note les candidats.

Et donc, il y a des systèmes qui sont connus de vote par évaluation.

Si vous voulez, je peux vous en parler un petit peu.

Le premier, c'est le vote par approbation. Qui est un vote très simple où, en fait,

chaque votant va dire oui ou non sur chaque candidat.

Oui, je suis d'accord pour qu'il soit, il ou elle, soit élu.

Non, je ne suis pas d'accord pour qu'il ou elle soit élu.

Chaque votant fait ça et, en fait, le ou la candidate élu·e est celui ou celle qui a recueilli le plus de oui.

Et donc, ça, ça permet d'échapper au théorème d'Arrow

et, en plus, ça a la bonne propriété d'être simple à comprendre pour les votants,

simple à dépouiller et, malgré tout, on sait qu'il y a du vote stratégique. C'est Gibbard

qui nous le dit et on n'y peut rien. Mais, il n'y a plus du tout

le problème de la division des voix. Vous imaginez

que, sur un vote comme ça, s'il y a encore une fois 27 candidats écolos,

on s'en fout, on peut mettre oui aux 27 ou, s'il y en a un

qui ne revient pas, on lui met non à lui, mais on met oui

aux 26 autres. On fait ce qu'on veut et on n'affaiblit pas son message en se trompant de

candidats écologiques. On peut dire oui à tout ce qu'on veut.

— Et, en plus, la réflexion à mener derrière, elle n'est pas extrêmement complexe. Elle revient à dire

« Ok, cet ensemble-là, j'en veux. Cet ensemble-là, j'en veux pas. »

Il n'y a pas à comprendre le système de vote.

Il y a à se dire « Ok »...

Je ne spoil pas car on va en parler après d'autres

modes de scrutin où il faut essayer d'évaluer chacun des

candidats. Là, c'est simple. C'est j'en veux, je mets oui. J'en veux pas, je mets non. »

— C'est ça. C'est simple à... T'as raison.

C'est simple à comprendre et c'est simple à dépouiller.

Alors, il y a un autre système de vote par évaluation qui est assez célèbre

qui s'appelle le jugement majoritaire.

— Attends, je t'interromps, mais juste pour en revenir à l'autre

mode. En fait, ce que tu décrivais aussi, c'était qu'au niveau de la personne qui vote,

ça revient à établir une limite entre ce que je veux

et ce que je veux pas. Ce qui est une tâche assez simple, finalement.

C'est dire « Ok, ça je veux, ça je veux. Et à partir de là, je veux plus. »

Donc, il y a quand même un système de préférence, mais qui est

très simplifié par rapport au vote.

— Oui, ce que m'avait dit Jean-François Lallier, j'espère que s'il nous écoute, il sera d'accord

quand je rapporte ses propos, c'est que il trouvait qu'un avantage de ce vote

par approbation, c'est que ça responsabilisait les votants. C'est-à-dire que

si vous imaginez que vous avez votre ordre de préférence entre les candidats, la question

c'est où est-ce que vous mettez la limite dans ceux que vous accepteriez de voir élus

et ceux que vous n'acceptez pas de voir élus. Et donc, il y a la prise de responsabilité.

de chaque votant. Jusque-là, pour moi, c'est OK. Et après lui, par contre, c'est pas OK pour moi.

Et donc, j'en viens à, si tu veux, Baptiste, à l'autre système de vote par évaluation qui s'appelle le jugement majoritaire.

Ce que je disais, c'est qu'il a été proposé par deux chercheurs français qui s'appellent Michel Balinski et Rida Laraki.

Et on en a entendu parler, on en entend souvent parler à l'occasion des présidentielles parce qu'il y a des

votes alternatifs qui poussent sur le web pour proposer justement d'autres modes de scrutin. Et celui-là,

il commence à être utilisé.

Et donc, celui-là, il consiste à dire que chaque candidat va mettre des mentions sur les...

Non, chaque votant, pardon, va mettre des mentions sur les candidats qui sont, je ne sais plus,

il y a cinq ou six mentions, très bien, bien, acceptable, passable

ou je ne sais plus trop quoi. Enfin, vous imaginez comme une épreuve de français, quoi.

Il y a cinq mentions possibles. Et ensuite, on va dire que le candidat élu, c'est celui qui a la mention médiane la plus haute.

Et souvent, comme il n'y a pas beaucoup de mentions, il y a égalité et donc il y a des règles

assez compliquées pour déterminer qui gagne en pratique. Et donc,

c'est un reproche qui pourrait être fait à ce vote, c'est qu'il est assez difficile

à comprendre. Et un vote qui est difficile à comprendre, on peut

trouver que c'est un vote qui ne met pas les votants

sur un pied d'égalité. Il ne faut pas que les mathématiciens soient privilégiés par rapport

au reste de la population au moment où ils votent.

— Et donc là ce que tu dis, c'est que là, pour le coup, il échappe totalement à Arrow,

c'est-à-dire qu'on ne peut pas avoir de stratégie, etc.

— Alors, il échappe à Arrow, ça veut dire qu'il a l'indépendance

aux alternatives. C'est ça que ça veut dire. Arrow, c'est indépendance aux alternatives

et Gibbard, c'est manipulabilité. Personne n'échappe à Gibbard, à part les référendums où on n'a que deux

alternatives possibles. Arrow, pour y échapper, tous les votes par évaluation y échappent. En fait, la raison,

elle est très simple, c'est que la performance d'un candidat, quand on met des notes,

elle va rester la même qu'il y ait d'autres candidats, qu'ils soient là ou qu'ils soient pas là.

En fait, si j'ai un 17 sur 20, d'accord ? Que Quentin, il soit présent

comme autre candidat à l'élection ou pas, j'ai toujours

17 sur 20. Donc, le classement entre Baptiste et moi ne va pas

dépendre de la présence de Quentin en tant que candidat.

— Quentin, il ne va pas venir te manger tes voix.

— Exactement.

— Mais du coup, juste parce que tu prenais l'exemple des notes, mais il y a certains profs

qui notent un peu en relatif, s'il y a quelqu'un qui est, tu vois...

qui font le barème un peu en fonction

des uns en fonction des autres, là, il faut qu'on se mette dans la situation où c'est un peu

absolu, qu'on ne considère pas les...

— Exactement, oui, il faut utiliser les notes pour ce qu'elles sont.

— Par rapport à nos valeurs à nous, et voilà,

on ne se dit pas...

— Il ne faut pas utiliser les notes pour faire un classement.

Il faut utiliser les notes en se disant, ben, possiblement,

deux candidats différents pour moi peuvent avoir la même note

pour des raisons différentes, et c'est très bien comme ça.

Mais du coup, là, ce que tu nous dis, quand même,

qui nous pose problème, finalement, c'est, pour échapper

à Arrow, donc pour échapper aux problèmes mathématiques

qu'on s'est posés, il faut rentrer dans des modes de scrutin

qui sont plus complexes, qui sont plus difficiles à appréhender

pour tout le monde, etc., et où il faut rentrer

dans les mathématiques, savoir comment est-ce qu'on extrait

le... Comment est-ce qu'on extrait la mention

de chacun, et comment est-ce qu'on extrait qui a gagné,

et qui a la meilleure mention, finalement ?

— Encore une fois, le jugement majoritaire, je trouve qu'il n'est pas

forcément très simple à comprendre.

Après, il peut avoir plein de bonnes propriétés,

mais en tout cas, il n'est pas ultra simple à comprendre.

Par contre, le vote par approbation, le premier

dont j'ai parlé, moi, je le trouve très simple.

Chaque votant dit oui ou non sur les candidats,

et, en fait, tout le monde serait capable de déterminer, de dépouiller

un vote comme ça. Il faut juste compter le nombre de oui, et celui

qui en a le plus, il a gagné. Donc, celui-là,

moi, je le trouve vraiment très simple.

— Est-ce qu'on se ferait pas une petite pause musicale avant d'arriver à la fin ?

— Si, maintenant qu'on a vu le Graal des votes, on va pouvoir s'attarder

à expliquer pourquoi toute cette émission finalement ne sert à rien,

en troisième partie. Mais en attendant, comme on est heureux, on va pouvoir

écouter un petit peu de musique, et notamment

on va pouvoir écouter Caracas de Tintamare dans l'album Epilogue.

C'est en licence CC-BY-SA 3.0.

[musique]

— Rebonjour à toutes et à tous, vous êtes toujours dans La Voix Est Libre,

et on parle toujours de scrutin. Si vous avez aimé cette musique, sachez que c'est

le titre Caracas de Tintamare dans l'album Epilogue.

Epilogue parce que, malheureusement, ils ont interrompu leur carrière.

On va tout de suite reprendre sur la fin de la théorie des scrutins.

— T'en as d'autres des mauvaises nouvelles comme ça ?

— Non je suis désolé je voulais quand même vous avertir

— Tu vas dire que c'est la fin de l'émission bientôt ?

— Je crains malheureusement que l'on s'approche de la fin

— En ayant... Alors là maintenant on est très content

on a trouvé des théories des scrutins qui ont des propriétés plutôt sympathiques

en tout cas qui nous permettent d'être meilleurs

que notre pauvre scrutin à deux tours

dont on a vu qu'il avait quand même 2-3 problèmes

du coup on est content, on s'arrête là on peut ranger nos affaires

aller manger un petit coup parce qu'on a commencé à avoir faim quand même

— En fait l'étude des modes de scrutin avec les maths

évidemment je ne vais pas dire le contraire moi je trouve que c'est hyper intéressant

mais il faut garder à l'idée que le vote c'est un objet social

et donc ce qu'il faut c'est quand même aussi que

tous les votants aient la capacité de voter

d'avoir le même recours à la stratégie

une fois dit qu'il y aura toujours du vote stratégique

et donc imaginons que demain

il y a une bande de matheux qui arrivent et qui disent

j'ai trouvé un vote mais incroyable faites nous confiance

on va le faire passer dans nos fonctions à nous

et vous verrez ça a toutes les bonnes propriétés du monde.

Bah ce serait pas acceptable socialement en fait

ce qu'il faut c'est que tout le monde soit capable de comprendre

le système dans lequel on est, que tout le monde soit relativement

sur un pied d'égalité.

De ce point de vue là notre Scrutin à deux tours

il est très mauvais mais ça fait tellement longtemps qu'on l'a que

tout le monde a compris un peu les règles du jeu

et comment on peut tordre le truc, donc on peut estimer que

ça place les électeurs sur un pied d'égalité.

Et donc il faut quand même qu'on ait aussi un système qui soit très simple pour voter

et pour dépouiller c'est-à-dire pour calculer le vainqueur de l'élection d'une part

et l'autre truc qui me semble important c'est que on focalise beaucoup sur l'élection du président en France

et sur ce mode de scrutin qui est pas terrible.

Ok c'est vrai, mais malgré tout le mode de scrutin

ça reste un outil de la démocratie. Il y en a beaucoup d'autres

il y a d'autres élections qui sont aussi hyper importantes

les européennes, les législatives, tout ce que vous voulez.

Et donc il faut pas tout focaliser sur le mode de scrutin

de l'élection du président en France.

La vraie question derrière c'est quand même aussi

la question de la gouvernance plus générale

— Et par exemple, en fait, on peut aussi se rendre compte

que le référendum en l'occurrence c'est un scrutin qui mathématiquement est parfait

— Le référendum où il y a deux alternatives encore une fois

— Oui exactement

— Alors, dès qu'on a un truc comme ça

oui on a du point de vue des maths

les matheux disent oui oui il n'y a aucun problème allez-y

il a toutes les bonnes propriétés du monde

— Mais donc on voit bien que dans notre démocratie

il y a ce scrutin là qui d'un point de vue mathématique est parfait

et ça nous empêche pas de nous dire il y a un problème de gouvernance

en tout cas à résoudre sur la question de comment est-ce qu'on élit d'autres élections etc.

on voit qu'il y a analyser cette question sociale qui est comment on doit s'organiser une démocratie

ça peut pas se faire uniquement avec des mathématiques

avec des gens qui disent oui ça mathématiquement c'est parfait et ça ça l'est pas

— Et ouais, ce que je voulais dire par rapport à ce référendum c'est que

je veux pas défendre notre scrutin de tour mais j'ai l'impression que

au moins une bonne propriété de notre scrutin de tour

c'est le fait que le deuxième tour qui est un vote

à deux alternatives du coup là il n'y a pas de manipulabilité

on vote sincèrement et on est sûr que le gagnant il

sort avec une étiquette à plus de cinquante pour cent des voix

d'accord donc on est sûr... Ça donne l'impression

que c'est le préféré d'une majorité de français,

que si on s'arrêtait à un vote à un tour

où on a quelqu'un qui gagne avec onze virgule cinq pour cent des voix

on peut imaginer qu'on ait l'impression

qu'on a élu quelqu'un qui n'est le préféré de personne en gros

— Et en plus il gagne face au deuxième du scrutin à un tour

donc il gagne pas contre n'importe qui

c'est ça c'est ça aussi l'impression que ressort

— Ouais

— Ok, et du coup, ce qu'on... On en arrive à une

à une question fondamentale qui est la question de la gouvernance

et peut-être peut-être Quentin t'aurais une idée

d'un système de gouvernance dont tu voudrais parler qui serait

qui serait qui serait intéressant peut-être le sujet d'une émission future que sais-je.

— Et donc là tu nous fais une complète salade, tomate, oignon, teasing, musique, édito

— Avec salto arrière

— Incroyable ! Oui, oui, effectivement chez Picasoft on a réfléchi un petit peu

aux questions de mode de gouvernance notamment on avait un bureau assez classique avec président présidente secrétaire etc.

et on s'est il y a eu des drames affreux qui ont déchiré l'association le septième va vous étonner

et du coup on vous recommande d'écouter graphite vendredi dans deux semaines à 9h ou 9h30 je ne sais plus

— Un des deux horaires en tout cas

— Pour entendre parler de de cet incroyable mode de gouvernance

— Et vous verrez qu'on ne fait que des scrutins parfaits avec oui ou non

— Ouais, qu'est-ce qu'on est bon, c'est vraiment fou.

Et puis aussi on peut rappeler que vous pouvez retrouver donc cette émission sur podcast.picasoft.net

sûrement deux mois et demi après sa sortie mais enfin tout de même

et puis voilà on n'a plus qu'à...

— Qu'à remercier david pour cette interview

— Merci david

— Bah merci à vous de m'avoir invité je suis ravi

— Et puis bah bonne journée à toutes et tous et puis à la prochaine